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江苏省2024-2023学年第二学期高二年级期中考试(23609B)数学试卷答案
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8.已知A、B、C是直线l上的不同的三点,点O是直线l外一点,向量$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$、$\overrightarrow{OC}$满足$\overrightarrow{OA}$-[2sin(2x-$\frac{π}{6}$)]$\overrightarrow{OB}$-($\frac{3}{2}$-y)$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$,记y=f(x).
(1)求函数y=f(x)的解析式及它的周期;
(2)若对任意x∈[$\frac{π}{6}$,$\frac{π}{3}$],不等式f(x)-2m>0恒成立,求实数m的取值范围.
分析由条件得b2-4ac≥0,设r=$\frac{-b+m}{2a}$,其中m2=b2-4ac,m≠±b;假设$\sqrt{{r}^{2}+{c}^{2}}$是有理数q,记s=2aq∈Q,先判断出m是无理数,从而可推出b=0;从而化简可得s2+1=m2+4a2c2+1=(2ac-1)2,故s=0,与s≠0矛盾;从而证明.
解答证明:由条件得,b2-4ac≥0,设r=$\frac{-b+m}{2a}$,其中m2=b2-4ac,
∵ac≠0,∴m≠±b;
假设$\sqrt{{r}^{2}+{c}^{2}}$是有理数q,记s=2aq∈Q,
则s2=4a2q2=4a2(r2+c2)=(m-b)2+4a2c2>0,
若m∈Z,则s∈Z,
而4s2=4(m-b)2+(4ac)2=4(m-b)2+(b2-m2)2=(m-b)2(4+(m+b)2),
故4+(m+b)2是平方数,
故m+b=0,与m≠±b相矛盾;
故m∉Z,不妨设m=$\frac{p}{q}$(p与q互质);
m2=$\frac{{p}^{2}}{{q}^{2}}$∉Z,而b2-4ac∈Z,
故m2=b2-4ac不成立;故矛盾;
故m是无理数,
又由s2=4a2q2=4a2(r2+c2)=(m-b)2+4a2c2>0知,
2mb=m2+b2+4a2c2-s2∈Q,
故b=0;
故s2+1=m2+4a2c2+1=(2ac-1)2,
故s=0,故与s≠0矛盾;
故$\sqrt{{r}^{2}+{c}^{2}}$是无理数.
点评本题考查了反证法的应用,关鍵在于构造s=2aq.
江苏省2024-2023学年第二学期高二年级期中考试(23609B)数学
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