炎德英才大联考 2023年湖南新高考教学教研联盟高二5月联考数学

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炎德英才大联考 2023年湖南新高考教学教研联盟高二5月联考数学试卷答案

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10．已知α，β是方程2x²+2ax+b=0的两根，且α∈[0，1]，β∈[1，2]，a，b∈R，则$\frac{{5{a^2}+4ab+{b^2}}}{{2{a^2}+ab}}$的范围[2，$\frac{5}{2}$]．

分析设圆心C，AB为圆C的切线，根据切线的性质得到CB与AB垂直，利用三角形ACB为直角三角形，根据勾股定理即可求出切线长．

解答解：设圆心C，AB为圆C的切线，∴CB⊥AB，
由圆的方程（x-3）²+（y+2）²=25，得到圆心C的坐标为（3，-2），半径r=5，
∴|CB|=5，|AC|=$\sqrt{（3+1）^{2}+（-2-6）^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
在Rt△ACB中，根据勾股定理得：|AB|=$\sqrt{80-25}$=$\sqrt{55}$，
则切线长$\sqrt{55}$．
故答案为：$\sqrt{55}$．

点评此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，切线的性质，以及勾股定理，当直线与圆相切时，常常由切线的性质得到垂直，构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．

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