2023年全国高考数学真题分类组合第9章《立体几何》试题及答案

2023年全国高考数学真题分类组合第9章《立体几何》试题及答案

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1、第九章 立体几何第一节 空间点、线、面的位置关系与空间几何体1.（2023全国甲卷理科11）在四棱锥中，底面为正方形，则的面积为（ ）A. B. C. D.【解析】如图所示，取的中点分别为，因为，所以.又，过作平面，则.连接，则.令，则，.在中，因为，所以.解得，则.过作，垂足为，连接，则.所以.故选C.【评注】本题重点考查了四棱锥中侧面、底面、高、斜高等几何要素之间的关系，涉及到空间想象能力与运算求解能力，2024届的考生应在空间几何体方面强化，属中档难度.2.（2023全国甲卷理科15）15.在正方体中，分别为的中点，则以为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为 . 【解析】如图所示，所以球

2、是正方体的棱切球，即球与每条棱都有一个公共点，故填.3.（2023全国甲卷文科16）在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是 .【分析】当球是正方体的外接球时半径最大，当边长为的正方形是球的大圆的内接正方形时半径达到最小.【解析】设球的半径为.当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，若半径变得更大，球会包含正方体，导致球面和棱没有交点，正方体的外接球直径为体对角线长，即，故；分别取侧棱的中点，显然四边形是边长为的正方形，且为正方形的对角线交点，连接，则，当球的一个大圆恰好是四边形的外接圆，球的半径达到最小，即的最小值为.综上，

3、.故答案为.4.（2023全国乙卷理科3，文科3）如图所示，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为 1，则该零件的表面积为（ ）A. B. C. D.【分析】由题意首先由三视图还原空间几何体，然后由所得的空间几何体的结构特征求解其表面积即可.【解析】 如图所示，在长方体中，点为所在棱上靠近点的三等分点，为所在棱的中点，则三视图所对应的几何体为长方体去掉长方体之后所得的几何体. 5.（2023全国乙卷理科8）已知圆锥的底面半径为，为底面圆心， 为圆锥的母线， 若的面积等于，则该圆锥的体积为 （ ）A. B. C. D.【解析】如图所示，取中点为，连接.在圆中，因为，所以，.又，所以

4、，.所以该圆锥的体积为.故选B.6.（2023全国乙卷文科16）已知点均在半径为 2 的球面上，是边长为 3 的等边三角形，平面，则 .【分析】先用正弦定理求底面外接圆半径，再结合直棱柱的外接球以及球的性质运算求解.【解析】如图所示，将三棱锥转化为直三棱柱，设的外接圆圆心为，半径为，则，可得，设三棱锥的外接球球心为，连接，则，所以.故答案为2.【评注】多面体与球切、接问题的求解方法：（1）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解；（2）若球面上四点构成的三条线段两两垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体

5、，根据求解；（3）正方体的内切球的直径为正方体的棱长；（4）球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长；（5）利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解7.（2023新高考I卷14）在正四棱台中，则该棱台的体积为 .【解析】如图所示，将正四棱台补成正四棱锥，因为，所以，设，则，故，故填.8.（2023新高考II卷9）已知圆锥的顶点为，底面圆心为，为底面直径，点在底面圆周上，且二面角为，则（ ）A. 该圆锥体积为 B. 该圆锥侧面积为 C. D. 的面积为【解析】如图所示，取的中点，连接，则，又，所以，所以为二面角的平面角，即，则.依题意，所以底面圆半径，圆锥高.，A正确；，B错误；在中，所以，C正确；，D错误.综上，故选AC.9.（2023新高考II卷14）14.底面边长为的正四棱锥被一个平行于底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，

17.补写出下列句子中的空缺部分。(6分)(1)荀子《劝学》中“,”两句,将“蟹”与蚯蚓进行对比,进而得出学习必须专心致志,不能心浮气躁。(2)李白《梦游天姥吟留别》中“,”两句,用传说中的海外仙境衬托天姥山,暗含诗人对天姥山的向往。(3)苏轼《念奴娇·赤壁怀古》中“”以美人衬托英雄,表现周瑜年轻有为,“”则描写周瑜儒将打扮,反映其临战潇洒从容。