高中数学必修一《均值不等式及应用》微专题讲义

高中数学必修一《均值不等式及应用》微专题讲义

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1、应用均值不等式的八大策略一基本原理1. 二元基本不等式的几个变形：（1）：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况（2）：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况（3），本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围（4）利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”2.n元均值不等式设均大于零，则记，则，其中等号成立的条件是.分别称为平方平均、算术平均、几何平均、调和平均.由均值不等式进一步可得幂平均不等式，设均大于零，实数，则称：称为的次幂平均.幂平均不等式：若，则.特别地，取，若，则有，等号成立当且仅当.二典例分析类型1

2、和（积）为定例1. 解析：，当且仅当即时，“=”号成立，故此函数最大值例2已知，则的最大值为_解析 由题可得 由均值不等式，可得 ，则，当且仅当，时，等号成立因而的最大值为类型2.分式函数（1） 型.对于形如的函数，总可以变换成转化为反比例函数进行求解.（2） 型.对于形如（分子分母均为一次的分式）的函数，通过换元 ，可转化为的形式，进而上述（1）中进行求解.（3） 型.形如的函数可通过分离常数转化为的形式，进而可依靠的图像（即前面研究过的双勾函数、伪勾函数来研究），再求出值域.（4） 型.形如可通过换元将问题转化为（3），然后进行求解.小结：总结一下我们所遇到的常见分式类型及一般处理方法：

3、：换元分离常数反比例函数模型. ：换元分离常数（双勾函数、伪勾函数）模型. ：同时除以分子：的模型. ：分离常数的模型.共同点：让分式的分子变为常数例4. 求函数的值域解析：设. 于是问题转化为求的值域，由对勾函数当时取等号，即.例5：设，求函数的最小值为_思路：考虑将分式进行分离常数，使用均值不等式可得：，等号成立条件为，所以最小值为， 答案：.下面讨论条件极值类型3.已知（为常数），求的最值，例6.已知，求的最小值解： 例7已知，且，则的最小值为（）A8BC9D解析：因为，所以，当且仅当取得等号，则的最小值为9.故选：C类型4.型注意最后要求的目标结构，利用均值不等式放缩掉或项.例8若实数

4、满足：，则的最小值为（）A1B2C3D4解析：因为，所以，由基本不等式可得，故，解得或（舍），即当且仅当时等号成立，故的最小值为1，故选：A.例9若，且，则的最小值为（）A9B16C49D81解析：由题意得，得，解得，即，当且仅当时，等号成立故选：D类型5.型注意最后要求的目标结构，利用均值不等式放缩掉或项，若目标函数与有关，则需先利用配方法换掉项.例10已知实数满足，则的最大值为A1B2C3D4解析：原式可化为：，解得，当且仅当时成立所以选B.例11若实数满足，则的最大值是ABCD解析：,，解得，的最大值是.故选B.类型6.待定系数法放缩例12.（2020复旦强基）已知实数满足，求的最小值_

5、.解析：我们的想法是利用恒等条件来寻找的最小值，那么自然要将放大成平方和的关系来凑出目标函数，于是我们可以将均值不等式改进成：设，来配凑.解：，令，故的最小值为.例13.（2020北大强基）已知任意的都有成立，则实数的最小值为_解析：基本想法就是将放大去加强不等式，然后一道与右边的约掉，从而得到实数的最小值.解：，令，故.类型7.消元加均值例14已知实数a，b，c满足，则的取值范围是（）ABCD解析：，故选：C.例15.（2018北大博雅计划）已知非负实数满足，求的最大值_.解析：此题的已知条件是一次式，而将目标函数放大后需要平方项，因此无法直接使用上一道例题的方法，此处就需要新的方法：均值加消元构造函数.解：，下面就可构造函数求目标函数最大值.令，不妨设，故，然后求的值域即可.类型8.换元例16（2020年四川预赛）已知正实数，满足，则的最小值是_解析 令，则，从而所以的最小值是

8.巴甫洛夫曾做过如下经典实验:给狗喂食会引起唾液分泌,但铃声刺激不会。若每次在铃声后即给狗喂食,这样多次结合后,狗听到铃声就会分泌唾液。有关此经典实验的叙述,错误的是A.仅用食物而引起狗分泌唾液,此过程中的食物属于非条件刺激B.狗听到铃声分泌唾液是狗通过学习和训练而形成的C.狗听到铃声就会分泌唾液,此时的铃声属于无关刺激D.条件反射是后天形成的,需要大脑皮层的参与