高考数学二轮复习培优专题第17讲数列求和5种常考题型总结(）

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1、第17讲 数列求和5种常考题型总结 【题型目录】题型一：分组求和法题型二：裂项相消法求和题型三：错位相减法求和题型四：先求和，再证不等式题型五：先放缩，再求和【典型例题】【例1】已知数列的前n项和.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前n项和.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用 ，即可得的通项公式；（2）由题可知，利用分组求和法即得.（1）因为，当时，当时，因为也满足，综上，；（2）由题可知，所以.以【例2】已知各项均为正数的数列中，且满足，数列的前n项和为，满足.(1)求数列，的通项公式；(2)若在与之间依次插入数列中的k项构成新数列，求数列中前40项的和.【答案】(1)，；(

2、2).【分析】（1）利用平方差公式将变形，得出数列是等差，可求出数列的通项；利用消去得到与的递推关系，得出数列是等比数列，可求出通项；（2）分析中前40项中与各有多少项，分别求和即可【详解】（1）由题设得：，则，故是首项，公差为2的等差数列，当时，得：，当，由，由整理得：，故，数列是首项为1，公比为3的等比数列，故.（2）依题意知：新数列中，（含）前面共有：项由，（）得：，新数列中含有数列的前8项：，含有数列的前32项：，；【例3】设是各项为正的等比数列的前n项的和，且(1)求数列的通项公式；(2)在数列的任意与项之间，都插入个相同的数，组成数列，记数列的前n项的和为，求的值【答案】(1)；(

3、2)【分析】（1）设等比数列的公比为，由已知建立方程组求解可得数列的通项公式；（2）数列中在之前共有项，再分组，分别利用等差，等比求和公式可求得答案【详解】（1）设等比数列的公比为，则，解得，则等比数列an的通项公式为；（2）数列中在之前共有项，当时，；当时，则，则所求的数列的前100项和为【题型专练】1.已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，(1)求数列与数列的通项公式；(2)求数列的前n项和【答案】(1)，.(2)【分析】（1）直接根据等差数列等比数列通项公式计算得到答案.（2），利用分组求和法结合等差等比数列求和公式计算得到答案.【详解】（1），解得，（舍去）.故，.（2），故.2.已

4、知数列的前项和为，且，请在；成等比数列；，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题.(1)求数列的通项公式；(2)若数列是公比为2的等比数列，求数列的前项和.【答案】(1)任选，都有；(2)任选，【分析】（1）由已知得出数列是等差数列，选，利用等差数列的基本量法求得后可得通项公式；选，由等比数列性质得，再利用等差数列的基本量法求得后可得通项公式；选，由等差数列的前项和公式求得后得通项公式；（2）求出，用分组求和法求和（1）由得，即，所以是等差数列，公差为1，选，则，所以；选，成等比数列，则，所以，解得，所以；选，所以；（2）任选都有：由题意，所以，3（2024广东广州一模）已知公差

5、不为0的等差数列中，是和的等比中项.(1)求数列的通项公式：(2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前n项和为，求的值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）设数列的公差为，根据等比中项列出方程求得即可得到通项公式.（2）由题意计算出在中对应的项数，然后利用分组求和即可.（1）设数列的公差为，因为是和的等比中项，则且则或（舍）则，即通项公式（2）因为与（，2，）之间插入，所以在数列中有10项来自，10项来自，所以4.已知等差数列满足，设.(1)求的通项公式，并证明数列为等比数列；(2)将插入中，插入中，插入中，依此规律得到新数列，求该数列前20项的和.【答案】(1)，证明见解析，(2)【分析】（1）先由递推公式求出通项公式，即可得的通项公式，由即可证明为等比数列；（2）先确定数列前20项的和包含的前5项，的前15项，分组求和即可.（1）设等差数列的公差为，因为，所以，故，所以.因为，所以数列是公比为4的等比数列.（2）由题意，该数列前20项的和包含的前5项，的前15项，设该数列前项和为的前项和为的前项和为，所以.题型

16、3D打印在工业设计等领域被用干模型制造,如图甲所示是用于3D打印ABS塑料,图乙是利用该材料打印出来的3D作品.已知体积为10cm^2的ABS塑料的质量为10.5g(1)这种材料的密度;(2)若用该材料打印出来的作品的质量是210g,求消耗该材料的体积。(1)p=1&6=105&100=1.05(2)V=11&3=2100&105×.80.02200