2024届江西省高二4月联考（22-03-408B）数学部分

已知等差数列的前项的和为，公差，若，，成等比数列，；数列满足：对于任意的，等式都成立.

（1）求数列的通项公式；

（2）证明：数列是等比数列；

（3）若数列满足，试问是否存在正整数，（其中），使，，成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组；若不存在，请说明理由.

(1) ;(2)见解析；（3）见解析.

【解析】分析：（1）根据已知解方程组得，即得数列的通项公式.（2）利用作差法化简

即得，即证明数列是等比数列.(3)先化简,再化简，，成等比数列,对s分类讨论得解.

详解：（1）设数列公差为，由题设得

即解得

∴数列的通项公式为：.

（2）∵

∴，①

∴，②

由②-①得，③

∴，④

由④-③得，

由①知，，∴.

又，∴数列是等比数列.

（3）假设存在正整数，（其中），使，，成等比数列，则，，成等差数列.

由（2）可知：，∴.

于是，.

由于，所以

因为当时，，即单调递减，

所以当时，，不符合条件，

所以或，

又，所以，所以

当时，得，无解，

当时，得，所以，

综上：存在唯一正整数数组，使，，成等比数列.

（1）由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其它各面都是矩形；

（2）一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的几何体；

（3）由五个面围成，其中一个面是正方形，其他各面都是有一个公共顶点的全等三角形；

（4）一个圆绕其一条直径所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的几何体．

（1）正六棱柱（2）圆台（3）正四棱锥（4）球

【解析】（1）该几何体有两个面是互相平行且全等的正六边形，其它各面都是矩形，满足每相邻两个面的公共边都互相平行，故该几何体是正六棱柱，如图（1）.

（2）等腰梯形两底边中点的连线将梯形平分为两个直角梯形，每个直角梯形绕垂直于底边的腰所在直线旋转180°形成半个圆台，故该几何体为圆台，如图（2）.

（3）该几何体的其中一个面是多边形（四边形），其余各面都是三角形，并且这些三角形有一个公共顶点，符合棱锥的定义，又因为底面是正方形，所以该几何体是正四棱锥，如同（3）.

（4）是一个球，如图（4）．