2024高考题型分科综合卷（四）数学部分

某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为，高为，圆锥的母线长为.

（1）求这种“笼具”的体积；

（2）现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？

（1）（2）元.

【解析】试题分析：

(1)“笼具”抽象为一个圆柱减去一个圆锥的组合体，据此结合体积公式可求得其体积为.

(2)结合题意首先求得一个“笼具”的表面积为，然后结合题意计算可得制作50个“笼具”，共需元.

试题解析：

设圆柱的底面半径为，高为，圆锥的母线长为，高为，

根据题意可知

（1），∴（），（），

所以“笼具”的体积 （）.

（2）圆柱的侧面积，

圆柱的底面积，

圆锥的侧面积，

所以“笼具”的表面积，

故造50个“笼具”的总造价： 元.

答：这种“笼具”的体积为 ；制造50个“笼具”的总造价为元.

已知椭圆： 上顶点为，右焦点为，过右顶点作直线，且与轴交于点，又在直线和椭圆上分别取点和点，满足（为坐标原点），连接.

（1）求的值，并证明直线与圆相切；

（2）判断直线与圆是否相切？若相切，请证明；若不相切，请说明理由.

（1）见解析（2）见解析

【解析】试题分析：

(1)两直线平行，则斜率相等，据此解方程可得，且直线的方程为，考查圆心到直线的距离与圆的半径的关系可得直线与圆相切.

(2)设， ，则直线EQ的方程为，圆心到直线的距离，结合韦达定理可得直线与圆相切.

试题解析：

（1）由题设， ， ，

又，所以，可得： ，

所以，即，

所以，为圆的半径，

所以直线与圆相切.

（2）设， ，

由，则，可得，

而：

由得代入上式，

得

又， ，代入上式得：

所以直线与圆相切.