衡水金卷·2021-2024学年度下学期高一年级期中考试月考卷数学部分

如图所示，是临江公园内一个等腰三角形形状的小湖（假设湖岸是笔直的），其中两腰米，.为了给市民营造良好的休闲环境，公园管理处决定在湖岸，上分别取点，（异于线段端点），在湖上修建一条笔直的水上观光通道（宽度不计），使得三角形和四边形的周长相等.

（1）若水上观光通道的端点为线段的三等分点（靠近点），求此时水上观光通道的长度；

（2）当为多长时，观光通道的长度最短？并求出其最短长度.

(1) 水上观光通道的长度为米;(2) 当米时，水上观光通道的长度取得最小值，最小值为米.

【解析】分析：（1）在等腰中，过点作于，先计算出，，再利用余弦定理求出EF的长度.(2) 设，，先求出EF的表达式，再利用基本不等式求其最短长度.

详解：（1）在等腰中，过点作于，

在中，由，即，∴，，

∴三角形和四边形的周长相等.

∴，即，

∴.

∵为线段的三等分点（靠近点），∴，，

在中，，

∴米.

即水上观光通道的长度为米.

（2）由（1）知，，设，，在中，由余弦定理，得

.

∵，∴.

∴，当且仅当取得等号，

所以，当米时，水上观光通道的长度取得最小值，最小值为米.

已知数列，的首项，且满足，，其中，设数列，的前项和分别为，．

（Ⅰ）若不等式对一切恒成立，求．

（Ⅱ）若常数且对任意的，恒有，求的值．

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下且同时满足以下两个条件：

（ⅰ）若存在唯一正整数的值满足；

（ⅱ）恒成立．试问：是否存在正整数，使得，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

（1）（2）（3）存在正整数，使得，此时，或者．

【解析】分析：（1）根据可得是公差的等差数列，代入等差数列的求和公式即可得出；（2）用表示出和，根据的范围及恒等式得出，可得，从而可得结果；（3）利用条件可得，的通项，求出，，因为，所以，令，则，解之得，，故满足的值为，，，根据分类讨论思想可得出的存在性.

详解：（Ⅰ）由题设数列的首项，公差为，则，

（Ⅱ）因为，，所以，

，故，又因为，

得，所以，

因为，

所以，所以，

故．

（Ⅲ）因为，所以或者，

若时，舍去，

若时，，故，

而，因为，所以，令，则，解之得，，故满足的值为，，，

①当，若，则数列前为：，，，满足，

若，则数列前项为：，，，不满足舍去；

若，则数列前项为：，，，不满足舍去；

若，则数列前项为：，，，不满足舍去；

②当若，则数列前项为：，，不满足；

若，则数列前项为：，，<img src="http://thumb.1010pic.com/questionBank/Upload/2019/04/16/09/efac0417/SYS20190