2024年普通高等学校全国统一考试 五月解密卷QG（三）数学部分

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已知函数.

(Ⅰ)试求函数的单调区间；

(Ⅱ)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.

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【答案】(1) 见解析(2)

【解析】试题分析: （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定出函数的单调区间即可；（2）问题等价于恒成立，令.因为，则，即，问题转化为，即对任意恒成立．

试题解析：

（Ⅰ）因为

所以

①若，则，即在区间上单调递减；

②若，则当时， ；当时， ；

所以在区间上单调递减，在区间上单调递增；

③若，则当时， ；当时， ；

所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．

综上所述，若，函数在区间上单调递减；；

若，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；

若，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．

（Ⅱ）依题意得，

令.因为，则，即．

于是，由，得，

即对任意恒成立.

设函数，则.

当时， ；当时， ；

所以函数在上单调递增，在上单调递减；

所以.

于是，可知，解得.

故的取值范围是

….