衡水金卷先享题 月考卷 2023-2024上学期高三年一调数学

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衡水金卷先享题 月考卷 2023-2024上学期高三年一调数学试卷答案

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14．证明：当n为大于2的整数时，n⁵-5n³+4n能被120整除．

分析（1）求出导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；
（2）由极值的定义，可得x=0处为极大值点；x=2处为极小值点，求出极值；
（3）由单调性和极值，即可得到函数的图象．

解答解：（1）函数f（x）=x³-3x²+2的导数为f′（x）=3x²-6x，
由f′（x）＞0，可得x＞2或x＜0；由f′（x）＜0，可得0＜x＜2．
即有增区间为（-∞，0），（2，+∞）；减区间为（0，2）；
（2）由极值的定义可得，x=0处，取得极大值，且为2；
x=2处，取得极小值，且为-2；
（3）图象如右所示：

点评本题考查导数的运用：求单调区间和极值，同时考查运用单调性画出图象的能力，属于基础题．

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