吉林省辉南县2023-2024高三上学期第二次半月考数学

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吉林省辉南县2023-2024高三上学期第二次半月考数学试卷答案

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3.有的停车场入口设置了车辆进出自动控制系统。在自动杆前的地面铺设传感器线圈A,自动杆后的地面铺设传感器线圈B,两线圈分别接入两个相同的电路,电路a、b端与电压恒定交变电源和电阻R连接,如图所示。工作状态时电路中有交变电流,当以金属为主体的汽车接近或远离线圈时,线圈的自感系数发生变化,使定值电阻R的c、d两端电压发生变化,这一变化的电压通过控制系统做出抬杆或落杆。下列说法正确的是A.汽车远离线圈A时,回路电流将减小B.汽车接近线圈A时,c、d两端电压降低C.汽车远离线圈B时,c、d两端电压降低D.汽车接近线圈B时,该线圈的自感系数减小

分析（1）根据几何关系得CC₁+CC₂=4（定值），再根据椭圆定义得出轨迹方程；
（2）采用了“先猜后证”的方法确定直线DE所过的定点．

解答解：（1）设动圆C的半径为r，根据几何关系，
动圆C与圆C₁内切，所以r=3-CC₁，
动圆C与圆C₂外切，所以r=CC₂-1，
所以，3-CC₁=CC₂-1，即CC₁+CC₂=4（定值），
因此，点P的轨迹为椭圆，且a=2，c=1，b=$\sqrt{3}$，
所以，圆心C的轨迹方程为：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$（x≠-2）；
（2）因为点A（-2，0）在x轴上，根据对称性可知，直线DE所过的定点必在x轴上，
因此，可采取先猜后证的方法确定直线DE必过定点，
当点D，E两点无限接近时，直线DE趋于切线，此时k₁，k₂都趋于$\sqrt{2}$（或-$\sqrt{2}$），
故可设l_AE：y=$\sqrt{2}$（x+2），代入椭圆解得D（-$\frac{10}{11}$，$\frac{12\sqrt{2}}{11}$），
且点D处切线斜率k=-$\frac{b^2{x}_{D}}{a^2{y}_{D}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{16}$，
因此，椭圆在点D处的切线方程为：y-$\frac{12\sqrt{2}}{11}$=$\frac{5\sqrt{2}}{16}$（x+$\frac{10}{11}$），
令y=0，解得x=-$\frac{22}{5}$，由此可猜测：直线DE恒过定点P（-$\frac{22}{5}$，0），证明如下：
设D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），过点P的直线为：x=my-$\frac{22}{5}$，联立椭圆方程得，
25（3m²+4）y²-660my+1152=0，
所以，y₁+y₂=$\frac{660m}{25（3m^2+4）}$，y₁y₂=$\frac{1152}{25（3m^2+4）}$，
因此，k₁•k₂=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+2}$=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{（m{y}_{1}-\frac{12}{5}）（m{y}_{2}-\frac{12}{5}）}$
=$\frac{25{y}_{1}{y}_{2}}{25m^2{y}_{1}{y}_{2}-60m（{y}_{1}+{y}_{2}）+144}$
=$\frac{1152}{1152m^2-12×132m^2+144（3m^2+4）}$=$\frac{1152}{576}$=2（定值），符合题意，
因此，直线DE恒过定点（-$\frac{22}{5}$，0）．

点评本题主要考查了运用椭圆的定义求轨迹方恒，以及直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、斜率计算公式、直线过定点问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

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