山东省淄博市2021-2024学年高一下学期期末数学试题

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17．y=-2sinx+1，x∈[-$\frac{π}{2}$，π]的值域为[-1，3]，当y取最大值时，x=-$\frac{π}{2}$；当y取最小值时，x=$\frac{π}{2}$．

分析由已知求出A的坐标，代入mx+ny+1=0，得到3m+n=1．则$\frac{1}{m}+\frac{3}{n}$=（$\frac{1}{m}+\frac{3}{n}$）（3m+n），展开后利用基本不等式求最值．

解答解：由x+4=1，得x=-3，
∴函数y=log_a（x+4）-1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A（-3，-1），
则-3m-n+1=0，即3m+n=1．
∴$\frac{1}{m}+\frac{3}{n}$=（$\frac{1}{m}+\frac{3}{n}$）（3m+n）=6+$\frac{n}{m}+\frac{9m}{n}$$≥6+2\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{9m}{n}}=12$．
当且仅当3m=n，即m=$\frac{1}{6}，n=\frac{1}{2}$时等号成立．
故答案为：12．

点评本题考查函数恒过定点问题，考查了利用基本不等式求最值，关键是对1的灵活运用，是基础题．

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