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19.设函数f(x)=xekx(k≠0)
(1)函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在区间(-1,1)内单调递增,求k的取值范围.
分析(1)运用作差比较法可得$\frac{a+b}{1+ab}$∈(-1,1),从而可证a*b=S;
(2)直接运用新定义,两边同时化简,即可证明等式.
解答证明:(1)因为a,b∈S,所以,a,b∈(-1,1),
即a2∈(0,1),b2∈(0,1),再作差比较如下,
记△=1-$\frac{(a+b)^2}{(1+ab)^2}$=$\frac{(1+ab)^2-(a+b)^2}{(1+ab)^2}$
=$\frac{(1-a^2)(1-b^2)}{(1+ab)^2}$>0恒成立,
所以,$\frac{(a+b)^2}{(1+ab)^2}$<1,即$\frac{a+b}{1+ab}$∈(-1,1),
所以,a*b∈S;
(2)左边=(a*b)*c=$\frac{a+b}{1+ab}$*c=$\frac{\frac{a+b}{1+ab}+c}{1+\frac{a+b}{1+ab}•c}$=$\frac{a+b+c+abc}{1+ab+ac+bc}$,
右边=a*(b*c)=a*$\frac{b+c}{1+bc}$=$\frac{a+\frac{b+c}{1+bc}}{1+a•\frac{b+c}{1+bc}}$=$\frac{a+b+c+abc}{1+ab+ac+bc}$,
所以,左边=右边.
即(a*b)*c=a*(b*c).
点评本题主要考查了运用作差法证明不等式,以及运用新定义运算证明等式,属于中档题.
黑龙江省哈尔滨市2020级学业质量监测(2024.8)数学试题
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