炎德英才大联考长郡中学2023届高三月考试卷1暨暑假作业检测数学试卷

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6．已知直线x+2y-3=0与圆x²+y²+x-2cy+c=0的两个交点为A，B，O为坐标原点，且OA⊥OB，求实数c的值．

分析直线l的参数方程消去参数t，得直线l的普通方程，曲线C的极坐标方程转化为（ρsinθ）²=4ρcosθ，得到其普通方程为y²=4x，联立$\left\{\begin{array}{l}{x-y-1=0}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得x²-6x+1=0，由此利用椭圆弦长公式能求出线段AB的长．故答案为：8．

解答解：∵直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=4+t}\\{y=3+t}\end{array}\right.$（t为参数），
∴消去参数t，得直线l的普通方程为x-y-1=0，
∵曲线C的极坐标方程ρsin²θ=4cosθ，
∴（ρsinθ）²=4ρcosθ，∴y²=4x，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x-y-1=0}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得x²-6x+1=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）），则x₁+x₂=6，x₁x₂=1，
∴线段AB的长|AB|=$\sqrt{（1+{1}^{2}）（{6}^{2}-4×1）}$=8．
故答案为：8．

点评本题考查弦长的求法，解题时要认真审题，注意极坐标方程、参数方程、普通方程的相互转化和椭圆弦长公式的合理运用．

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