2023年普通高等学校招生全国统一考试·S3最新模拟卷3(三)数学

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2023年普通高等学校招生全国统一考试·S3最新模拟卷3(三)数学试卷答案

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②若上述推测成立,以N和F1为材料,继续做杂交实验,并按照①中方法统计数据。则:植株N与野生型黄花蒿进行杂交,子代中植株数量比为;F1自交,单独统计每株F1后代相关数据,其中有1/4F1的后代植株数量比为11:4:6:4:1,有F1的后代植株数比为1:2:1,有F1的后代植株青蒿素含量无差异。(横线处填写比例)

分析所证明的不等式的左侧是n-1项，因此是对数表达式，联想对数运算法则：ln$\frac{M}{N}$=lnM-lnN，引入辅助函数f（x）=$\frac{1-x}{x}$+lnx，由导数证明其在[1，+∞）上为增函数，得到f（ $\frac{n}{n-1}$）＞0，即：$\frac{1}{n}$＜ln$\frac{n}{n-1}$，则数列不等式得证．

解答证明：令f（x）=$\frac{1-x}{x}$+lnx，则f′（x）=$\frac{-x-1+x}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$，
当x≥1时，f′（x）≥0，∴f（x）在[1，+∞）上为增函数，
∴n≥2时：f（$\frac{n}{n-1}$）=$\frac{1-\frac{n}{n-1}}{\frac{n}{n-1}}$+ln$\frac{n}{n-1}$=ln$\frac{n}{n-1}$-$\frac{1}{n}$＞f（1）=0，
即：$\frac{1}{n}$＜ln$\frac{n}{n-1}$，
∴$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$＜lnn．

点评本题考查了数列的求和，考查了利用构造函数法证明数列不等式，关键是构造出增函数f（x）=$\frac{1-x}{x}$+lnx，是难题．

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