2023届衡水金卷先享题调研卷全国卷(三)3数学

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2023届衡水金卷先享题调研卷全国卷(三)3数学试卷答案

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14．已知函数f（x）=sin²ωx+2$\sqrt{3}$sinωxcosωx-cos²ωx（ω＞0），f（x）的图象相邻两条对称轴的距离为$\frac{π}{4}$．
（Ⅰ）求f（$\frac{π}{4}$）的值；
（Ⅱ）将f（x）的图象上所有点向左平移m（m＞0）个长度单位，得到y=g（x）的图象，若y=g（x）图象的一个对称中心为（$\frac{π}{6}$，0），当m取得最小值时，求g（x）的单调递增区间．

分析（1）不妨设题中比例系数为k，每批购入x台，共需分$\frac{36}{x}$批，每批价值为20x元，总费用f（x）=运费+保管费；由x=4，y=52可得k，从而得f（x）；
（2）每批进货的数量控制在4≤x≤9，资金才够用．令$\frac{144}{x}$+4x≤52，解不等式即可得到；
（3）由（1）的解析式，由基本不等式可求得当x为何值时，f（x）的最小值．

解答解：（1）设题中比例系数为k，若每批购入x台，则共需分$\frac{36}{x}$批，
每批价值为20x元，
由题意，得：f（x）=$\frac{36}{x}$•4+k•20x，
由x=4时，y=52，得：k=$\frac{1}{5}$，
即有f（x）=$\frac{144}{x}$+4x（0＜x≤36，x∈N）；
（2）每批进货的数量控制在4≤x≤9，资金才够用．
理由如下：令$\frac{144}{x}$+4x≤52，化简为（x-4）（x-9）≤0，
解得4≤x≤9；
（3）由（1）知，f（x）=$\frac{144}{x}$+4x（0＜x≤36，x∈N），
则f（x）≥2$\sqrt{\frac{144}{x}•4x}$=48，
当且仅当$\frac{144}{x}$=4x，即x=6时，上式等号成立；
故只需每批购入6张书桌，
可以使该月用于支付运费和保管费的资金费用最少．

点评本题考查函数模型的运用，考查不等式的解法和基本不等式a+b≥2$\sqrt{ab}$（a＞0，b＞0）的应用：求最值，考查运算能力，属于中档题．

2023届衡水金卷先享题调研卷全国卷(三)3数学