广西国品文化2024~2023年高考桂柳综合模拟金卷(4四)数学

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广西国品文化2024~2023年高考桂柳综合模拟金卷(4四)数学试卷答案

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3．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴非负半轴重合．直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{2+tcosα}\\{1+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=4cos θ+2sin θ．
（1）写出曲线C的直角坐标方程，并指明C是什么曲线；
（2）设直线l与曲线C相交于P，Q两点，求证|PQ|为定值．

分析ef（x）＞f（1）e^x?$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$＞$\frac{f（1）}{e}$，构造g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，则g′（x）=$\frac{{e}^{x}f′（x）-{e}^{x}f（x）}{（{e}^{x}）^{2}}$=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$＜0，故由g（x）的单调性得出答案．

解答解：∵f′（x）＜f（x），∴$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$＜0，∴$\frac{{e}^{x}f′（x）-{e}^{x}f（x）}{（{e}^{x}）^{2}}$＜0，
令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，则g′（x）=$\frac{{e}^{x}f′（x）-{e}^{x}f（x）}{（{e}^{x}）^{2}}$＜0，
∴g（x）在R上是减函数．
∵ef（x）＞f（1）e^x，
∴$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$＞$\frac{f（1）}{e}$，即g（x）＞g（1）．
∴x＜1．
故选：B．

点评本题考查了函数单调性与导数的关系，构造g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$是解题关键．

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