百师联盟 2023届高三一轮复习联考(五)湖北卷数学

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百师联盟 2023届高三一轮复习联考(五)湖北卷数学试卷答案

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10．已知等比数列{a_n}的公比q＞1．且2（a_n+a_n+2）=5a_n+1，n∈N^*．
（I）求q的值；
（Ⅱ）若a₃²=a₁₀，求数列{$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$}的前n项和S_n．

分析由题意可得sinA=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，cosA=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，且∠EDF=π-A，|DE|•|DF|•cosA∈[$\frac{9}{8}$，$\frac{4}{3}$]①．再根据S=$\frac{1}{2}$|AB|•|AC|•sinA=$\frac{1}{2}$•$\frac{2S}{（λ+1）•|DE|}$•$\frac{2λS}{（λ+1）|DF|}$•sinA，可得|DE|•|DF|•cosA=$\frac{2λ•S}{{（λ+1）}^{2}}$•sinAcosA②，结合①②求得λ的范围．

解答解：由题意可得，∠AED=∠AFD=90°，故A、E、D、F四点共圆，如图所示：
∵tanA=$\frac{sinA}{cosA}$=3，sin²A+cos²A=1，∴sinA=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，cosA=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，且∠EDF=π-A．
∵$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{DF}$=|DE|•|DF|•cos（π-A）=-|DE|•|DF|•（-cosA）∈[-$\frac{4}{3}$，-$\frac{9}{8}$]，
∴|DE|•|DF|•cosA∈[$\frac{9}{8}$，$\frac{4}{3}$]①．
∵$\frac{CD}{DB}$=λ，∴S_△ABD=$\frac{S}{1+λ}$，S_△ACD=$\frac{λS}{1+λ}$，
∴|AB|=$\frac{{2S}_{△ABD}}{|DE|}$=$\frac{2S}{（λ+1）•|DE|}$，同理求得|AC|=$\frac{2λS}{（λ+1）•|DF|}$．
又S=$\frac{1}{2}$|AB|•|AC|•sinA=$\frac{1}{2}$•$\frac{2S}{（λ+1）•|DE|}$•$\frac{2λS}{（λ+1）|DF|}$•sinA，
∴|DE|•|DF|•cosA=$\frac{2λ•S}{{（λ+1）}^{2}}$•sinAcosA②，
由①②求得$\frac{3}{16}$≤$\frac{λ}{{（λ+1）}^{2}}$≤$\frac{2}{9}$，即$\frac{1}{3}$≤λ≤$\frac{1}{2}$，或2≤λ≤3，
故答案为：[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]∪[2，3]．

点评本题主要考查同角三角函数的基本关系，两个向量的数量积的运算，属于难题．

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