2023届衡水金卷先享题调研卷 湖南专版 三数学

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2023届衡水金卷先享题调研卷 湖南专版 三数学试卷答案

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1．已知双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1，A、B分别为其左、右顶点，P是双曲线右支上位于x轴上方的动点，则k_PA+k_PB的取值范围是（　　）

分析可设P（7$\sqrt{2}$cosα，7sinα），0≤α＜2π，A（0，5），即有|PA|=$\sqrt{（7\sqrt{2}cosα）^{2}+（7sinα-5）^{2}}$，再由同角的平方关系和正弦函数的值域，配方即可得到所求最值．

解答解：点P为椭圆x²+2y²=98上一个动点，
可设P（7$\sqrt{2}$cosα，7sinα），0≤α＜2π，
A（0，5），即有|PA|=$\sqrt{（7\sqrt{2}cosα）^{2}+（7sinα-5）^{2}}$
=$\sqrt{-49si{n}^{2}α-70sinα+123}$
=$\sqrt{-49（sinα+\frac{5}{7}）^{2}+148}$，
由-1≤sinα≤1，可得sinα=-$\frac{5}{7}$时，|PA|取得最大值2$\sqrt{37}$；
当sinα=1，即α=$\frac{π}{2}$时，|PA|取得最小值2．

点评本题考查椭圆的参数方程的运用，考查三角函数的化简和求值，注意运用同角的平方关系和正弦函数的值域，属于中档题．

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