2023年衡水金卷先享题 分科综合卷 全国卷(二)2数学

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2023年衡水金卷先享题 分科综合卷 全国卷(二)2数学试卷答案

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6．已知a＞0且a≠1，f（log_ax）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$•（x-x^-1）．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）判断f（x）的奇偶性和单调性；（不必证明）
（3）当f（x）定义域为（-1，1）时，解关于m的不等式：f（1-m）+f（1-m²）＜0．

分析（1）由函数f（x）=lg（10^x+a）是定义域为R上的奇函数，可得f（0）=0，解得实数a的值；
（2）若h（x）≤xlog₃x在x∈[3，8]上恒成立，则t≤log₃x在x∈[3，8]上恒成立，结合log₃x在x∈[3，8]上最小值为1，可得t的取值范围．

解答解：（1）∵函数f（x）=lg（10^x+a）是定义域为R上的奇函数，
∴f（0）=lg（10⁰+a）=0，
即1+a=1，
解得：a=0
（2）由（1）得函数f（x）=lg（10^x）=x，
若h（x）=tf（x）=tx≤xlog₃x在x∈[3，8]上恒成立，
∴t≤log₃x在x∈[3，8]上恒成立，
∴t≤1．

点评本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，函数恒成立问题，函数的最值，函数的奇偶性，难度中档．

2023年衡水金卷先享题 分科综合卷 全国卷(二)2数学