安徽第一卷·2024-2023安徽省九年级教学质量检测(四)4数学

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安徽第一卷·2024-2023安徽省九年级教学质量检测(四)4数学试卷答案

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19．设正项数列{a_n}的前n项和为S_n，并且对于所有的正整数n，a_n与1的等差中项等于S_n与1的等比中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}的通项公式b_n=ln（1+$\frac{1}{{a}_{n}}$），记T_n是{b_n}的前n项和，试比较T_n与$\frac{1}{2}$lna_n+1的大小并证明你的结论．

分析先证△ADB≌△AEC，得出DB=EC，从而推得△DEC中三边之长就是：段AD（即DE）、线段BD（即EC）、线段CD之长．

解答证明：如右图，在AC边外，以AD为边作等边△ADE，连接EC，
∵△ADE为等边三角形，∴AD=AE，———-①
且∠DAB=60°-∠DAC=∠EAC，————-②
又∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，——–③
∴△ADB≌△AEC，所以，DB=EC，
即△DEC中（如图阴影）三边之长就是：
线段AD（即DE）、线段BD（即EC）、线段CD之长，
且∠EDC=∠ADC-∠ADE=150°-60°=90°，即∠EDC为直角，
因此，线段AD，BD，CD为边构成的三角形为直角三角形．

点评本题主要考查了平面几何中的证明问题，涉及正三角形的性质和三角形全等的判断，属于中档题．

安徽第一卷·2024-2023安徽省九年级教学质量检测(四)4数学