河南省2024~2023学年度八年级综合素养评估(四) R-PGZX B数学

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河南省2024~2023学年度八年级综合素养评估(四) R-PGZX B数学试卷答案

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12．已知椭圆C的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，A，B分别为左、右顶点，F₂为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，且$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最小值为-2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过左焦点F₁的直线交椭圆于M，N两点，求$\overrightarrow{{F}_{2}M}$•$\overrightarrow{{F}_{2}N}$的取值范围．

分析由已知可得m$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$=（m+6）$\overrightarrow{i}$+（m+4）$\overrightarrow{j}$+（-2m+2）$\overrightarrow{k}$，2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=-$\overrightarrow{i}$-5$\overrightarrow{k}$，由m$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$与2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$互相垂直，可得：（m$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）•（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=0，即-（m+6）-5（-2m+2）=0，解得答案．

解答解：∵{$\overrightarrow{i}$，$\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{k}$}为空间的单位正交基底，且$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{i}$+$\overrightarrow{j}$-2$\overrightarrow{k}$，$\overrightarrow{b}$=3$\overrightarrow{i}$+2$\overrightarrow{j}$+$\overrightarrow{k}$，
∴m$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$=（m+6）$\overrightarrow{i}$+（m+4）$\overrightarrow{j}$+（-2m+2）$\overrightarrow{k}$，
2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=-$\overrightarrow{i}$-5$\overrightarrow{k}$，
又∵m$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$与2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$互相垂直，
∴（m$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）•（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=0，
∴-（m+6）-5（-2m+2）=0，
解得：m=$\frac{16}{9}$，
故选：B

点评本题考查的知识点是向量垂直的充要条件，难度不大，属于基础题．

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