河北省2024~2023学年度九年级阶段评估 4L R数学

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河北省2024~2023学年度九年级阶段评估 4L R数学试卷答案

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14．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sin$\frac{x}{2}$，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{3}$cos$\frac{x}{2}$-sin$\frac{x}{2}$，1），函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c．
（1）求f（x）的单调递增区间：
（2）若f（B+C）=1，a=$\sqrt{3}$，b=1．求△ABC的面积S．

分析设在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，中线AD与BE相交于O，则∠CAD=∠CBE，∠AOB=90°+2∠CAD，由此能求出等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值．

解答解：设在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，
中线AD与BE相交于O，则∠CAD=∠CBE，
∠AOB=∠CBE+∠ODB=∠CBE+∠CAD+∠C=90°+2∠CAD，
在Rt△CAD中，设CD=1，则BC=2，∴AD=$\sqrt{5}$，
∴sin∠CAD=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，cos∠CAD=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
∴cos∠AOB=cos（90°+2∠CAD）=-sin2∠CAD
=-2sin∠CAD•cos∠CAD
=-2×$\frac{1}{\sqrt{5}}$×$\frac{2}{\sqrt{5}}$
=-$\frac{4}{5}$．
∴等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值为-$\frac{4}{5}$．

点评本题考查等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角形诱导公式、正弦二倍角公式的合理运用．

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