江西省新八校2023届高三第一次联考数学

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江西省新八校2023届高三第一次联考数学试卷答案

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15．已知曲线y=x³+3x²+6x-10，点P（x，y）在该曲线上移动，在P点处的切线设为l．
（1）求证：此函数在R上单调递增；
（2）求l的斜率的范围．

分析先进行数量积的坐标运算，从而由$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=0$可以得出y=$（2cosx+2\sqrt{3}sinx）cosx$，然后根据二倍角的正余弦公式及两角和的正弦公式可以对前面函数解析式进行化简，化简后便可得到y=2sin（2x$+\frac{π}{6}$）+1，显然可以得出周期．

解答解：$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=（2cosx+2\sqrt{3}sinx）cosx-y=0$；
∴$y=（2cosx+2\sqrt{3}sinx）cosx$=$2co{s}^{2}x+2\sqrt{3}sinxcosx$=$1+cos2x+\sqrt{3}sin2x$=$2sin（2x+\frac{π}{6}）+1$；
即y=$2sin（2x+\frac{π}{6}）+1$；
∴f（x）的最小正周期为π．

点评考查数量积的坐标运算，二倍角的正弦、余弦公式，以及两角和的正弦公式，计算最小正周期的公式．

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