2023考前信息卷·第四辑 重点中学、教育强区 期末监测信息卷(三)3数学

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2023考前信息卷·第四辑 重点中学、教育强区 期末监测信息卷(三)3数学试卷答案

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14．在平面直角坐标系中，已知点M（0，-1），N（0，1），动点P满足PM=$\sqrt{2}$PN．
（1）求点P的轨迹C₁的方程，并说明是什么曲线
（2）二次函数f（x）=x²+2x-3的图象与两坐标轴交于三点，过这三点的圆记为C₂，求证C₁、C₂有两个公共点，并求出这两个公共点间距离．

分析由条件利用同角三角函数的基本关系求得tanα=3，再利用二倍角公式，两角和差的正弦公式化简要求的式子，可得结果．

解答解：∵tanα+$\frac{1}{tanα}$=$\frac{10}{3}$，α∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），∴tanα=3，
∴sin（2α+$\frac{π}{4}$）+2cos$\frac{π}{4}$sin²α=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2α+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos2α+2•$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\frac{1-cos2α}{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2α+$\frac{\sqrt{2}}{2}$═$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\frac{2sinαcosα}{{sin}^{2}α{+cos}^{2}α}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\frac{2tanα}{{tan}^{2}α+1}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$ 
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\frac{6}{10}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{4\sqrt{2}}{5}$，
故答案为：$\frac{4\sqrt{2}}{5}$．

点评本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角和差的正弦公式的应用，属于中档题．

2023考前信息卷·第四辑 重点中学、教育强区 期末监测信息卷(三)3数学