2023届衡中同卷 调研卷 新高考/新教材(三)3数学

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2023届衡中同卷 调研卷 新高考/新教材(三)3数学试卷答案

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3．计算：
（1）2x-4＜0；
（2）求2$\sqrt{2}$•³$\sqrt{{2}^{2}}$的值；
（3）lg2+lg5．

分析（1）化简函数f（x）的解析式，求出f（x）=0的x值，结合f（x）的图象可得不等式f（x）≤0的解集．
（2）由题意可得|x-2|+|x-$\frac{5}{2}$|≥-$\frac{m}{2}$恒成立，利用绝对值三角不等式求得|x-2|+|x-$\frac{5}{2}$|的最小值，可得实数m的取值范围．

解答解：函数f（x）=|x-2|-|2x+5|=$\left\{\begin{array}{l}{x+7，x＜-\frac{5}{2}}\\{-3x-3，-\frac{5}{2}≤x≤2}\\{-x-7，x＞2}\end{array}\right.$，
（1）令f（x）=|x-2|-|2x+5|=0，求得x=-7或x=-1，结合f（x）的图象，
故不等式f（x）≤0的解集为{x|-7≤x≤-1}．
（2）若f（x）-3|x-2|≤m，对一切实数x均成立，
即：-2|x-2|-|2x+5|≤m恒成立；
即|x-2|+|x+$\frac{5}{2}$|≥-$\frac{m}{2}$恒成立；
y=|x-2|+|x+$\frac{5}{2}$|的图象为：

∴-$\frac{m}{2}$≤$\frac{9}{2}$；
所以m≥-9；
即m的取值范围为m≥-9．

点评本题主要考查分段函数的应用，绝对值三角不等式的应用，绝对值不等式的解法，绝对值的意义，属于中档题．

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