江西省上饶市2024-2023学年度高一上学期期末教学质量测试数学

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江西省上饶市2024-2023学年度高一上学期期末教学质量测试数学试卷答案

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14．已知椭圆方程为$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}$=1，a₁，a₂，…，a₉是该椭圆的过焦点的其中9条弦的长度，若数列a₁，a₂，…，a₉是等差数列，则数列a₁，a₂，…，a₉的公差的最大值为$\frac{4}{5}$．

分析通过韦达定理可求sinα+cosα=2sinα，sinαcosα=sin²β，利用sin²α+cos²α=1，根据平方和公式及二倍角公式即可化简得证．

解答证明：sinα，cosα是关于x的方程x²-2xsinα+sin²β=0的两个根，
所以sinα+cosα=2sinα，sinαcosα=sin²β，
所以：sin²α+cos²α=1
⇒（sinα+cosα）²-2sinαcosα=1，
⇒（2sinα）²-2sin²β=1，
⇒4sin²α-2sin²β=1，
⇒4sin²α=1+2sin²β，
⇒2-4sin²α=2-1-2sin²β
⇒2cos2α=cos2β，得证．

点评本题考查三角函数化简求值，注意同角三角函数的基本关系式的应用以及二倍角公式的应用，考查计算能力．

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