[株洲一模]湖南省株洲市2023届高三年级教学质量统一检测(一)1数学

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[株洲一模]湖南省株洲市2023届高三年级教学质量统一检测(一)1数学试卷答案

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7．已知函数f（x）=2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx，g（x）=xe^-x．
（1）当x∈R时，求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若对任意x₁∈[1，3]，x₂∈[0，$\frac{π}{2}$]，不等式g（x₁）+a+3＞f（x₂）恒成立，求实数a的取值范围．

分析求出直线$\frac{x}{2}$+$\frac{y}{6}$=1的斜率，从而得到过点（-1，5），且与直线$\frac{x}{2}$+$\frac{y}{6}$=1垂直的直线方程的斜率，由此能求出所求方程．

解答解：∵直线$\frac{x}{2}$+$\frac{y}{6}$=1的斜率k=-3，
∴过点（-1，5），且与直线$\frac{x}{2}$+$\frac{y}{6}$=1垂直的直线方程的斜率k′=$\frac{1}{3}$，
∴过点（-1，5），且与直线$\frac{x}{2}$+$\frac{y}{6}$=1垂直的直线方程为：
$y-5=\frac{1}{3}（x+1）$，
整理，得x-3y+16=0．
故答案为：x-3y+16=0．

点评本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线与直线垂直的性质的合理运用．

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