2023届三重教育2月高三大联考(全国卷)数学

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2023届三重教育2月高三大联考(全国卷)数学试卷答案

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6．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x（x∈N^*）件．当x≤20时，年销售总收入为（33x-x²）万元；当x＞20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元，
（1）y（万元）与x（件）的函数关系式为？
（2）该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大，并求出最大值．（年利润=年销售总收入-年总投资）

分析可设P（7$\sqrt{2}$cosα，7sinα），0≤α＜2π，A（0，5），即有|PA|=$\sqrt{（7\sqrt{2}cosα）^{2}+（7sinα-5）^{2}}$，再由同角的平方关系和正弦函数的值域，配方即可得到所求最值．

解答解：点P为椭圆x²+2y²=98上一个动点，
可设P（7$\sqrt{2}$cosα，7sinα），0≤α＜2π，
A（0，5），即有|PA|=$\sqrt{（7\sqrt{2}cosα）^{2}+（7sinα-5）^{2}}$
=$\sqrt{-49si{n}^{2}α-70sinα+123}$
=$\sqrt{-49（sinα+\frac{5}{7}）^{2}+148}$，
由-1≤sinα≤1，可得sinα=-$\frac{5}{7}$时，|PA|取得最大值2$\sqrt{37}$；
当sinα=1，即α=$\frac{π}{2}$时，|PA|取得最小值2．

点评本题考查椭圆的参数方程的运用，考查三角函数的化简和求值，注意运用同角的平方关系和正弦函数的值域，属于中档题．

2023届三重教育2月高三大联考(全国卷)数学