湖南省2023年3月高三调研考试数学

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湖南省2023年3月高三调研考试数学试卷答案

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19．已知函数f（x）=2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx（x∈R）．．
（1）当$x∈[0，\frac{π}{2}]$时，求函数f（x）的最大值和最小值；
（2）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=3，f（C）=2，若向量$\overrightarrow{m}$=（1，sinA）与向量$\overrightarrow{n}$=（2，sinB）共线，求a，b的值．

分析由奇函数的性质：f（0）=0，可得n=0，再由g（x）=x+$\frac{m}{x}$在区间$（1，\frac{3}{2}]$上没有最大值．由g（x）在x=$\sqrt{m}$处取得极小值，讨论区间$（1，\frac{3}{2}]$与极值点的关系，即可得到m的范围．

解答解：定义域为R的奇函数f（x），即有f（0）=0，
则n=0，又m＞0，
由f（x）=$\frac{1}{x+\frac{m}{x}}$在区间$（1，\frac{3}{2}]$上没有最小值，
即为g（x）=x+$\frac{m}{x}$在区间$（1，\frac{3}{2}]$上没有最大值．
由g（x）在x=$\sqrt{m}$处取得极小值，
当$\sqrt{m}$≥$\frac{3}{2}$，即m≥$\frac{9}{4}$时，区间$（1，\frac{3}{2}]$为g（x）的减区间，成立；
当1≤$\sqrt{m}$＜$\frac{3}{2}$，且g（1）＞g（$\frac{3}{2}$），即有1≤m＜$\frac{9}{4}$，且m＞$\frac{3}{2}$，
综上可得，m的范围是m＞$\frac{3}{2}$．
故选：D．

点评本题考查函数的性质和运用，主要是奇函数的性质，考查函数的最值的求法，注意运用基本不等式和函数的单调性，属于中档题．

湖南省2023年3月高三调研考试数学