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2023届高三新教材全国百万3月联考(910C)数学

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试题答案

2023届高三新教材全国百万3月联考(910C)数学试卷答案

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5.求下列函数的反函数:
①y=$\frac{3}{x+1}$ x∈R x≠-1,
②y=$\frac{1}{x-2}$ x∈R x≠2.

分析(1)利用二倍角公式与和角公式将f(x)进行化简,由两条对称轴之间的最小距离为$\frac{π}{2}$可知f(x)周期为π,从而求出ω;
(2)根据x的范围求出相位的范围,再根据正弦函数的单调性求出f(x)的最值,列出方程解出m.

解答解:(1)f(x)=$\sqrt{3}$sinωxcosωx-cos2ωx+m=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$cos2ωx+m-$\frac{1}{2}$
=sin(2ωx-$\frac{π}{6}$)+m-$\frac{1}{2}$.
∵f(x)的两条对称轴之间的最小距离为$\frac{π}{2}$,
∴T=2×$\frac{π}{2}$=π,∴$\frac{2π}{2ω}$=π,∴ω=1.
∴f(x)=sin(2x-$\frac{π}{6}$)+m-$\frac{1}{2}$.
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ,解得-$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{π}{3}$+kπ,
∴f(x)的单调递增区间是[-$\frac{π}{6}$+kπ,$\frac{π}{3}$+kπ],k∈Z.
(2)∵x∈在$[{-\frac{π}{3},\frac{π}{6}}]$,∴2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{5π}{6}$,$\frac{π}{6}$],
∴当2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$时,f(x)取得最大值m,
当2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{2}$时,f(x)取得最小值m-$\frac{3}{2}$.
∴m+m-$\frac{3}{2}$=$\frac{5}{2}$,解得m=2.

点评本题考查了三角函数的恒等变换及性质,由对称轴的最短距离得出周期是关键.

2023届高三新教材全国百万3月联考(910C)数学

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