衡中同卷2024-2023学年度下学期高三年级二调考试(全国卷)数学

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衡中同卷2024-2023学年度下学期高三年级二调考试(全国卷)数学试卷答案

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15．已知函数f（x）满足f（x）+1=$\frac{1}{f（x+1）}$，当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间（-1，1]上方程f（x）-mx-m=0有两个不同的实根，则实数m的取值范围是（　　）

分析根据双曲线的方程求出A、B点的坐标，设点P（x₀，y₀），得到k_PA+k_PB=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$+$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$=$\frac{{x}_{0}}{2{y}_{0}}$=m，根据p的位置即可判断m的范围，即斜率的范围．

解答解：双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1，A、B分别为其左、右顶点（-2，0），（2，0），设点P（x₀，y₀），
根据点P是双曲线左支上位于x轴上方的点，则$\frac{1}{4}$x₀²-y₀²=1，则x₀²-4=4y₀²，
∴k_PA+k_PB=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$+$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$=$\frac{{y}_{0}（2{x}_{0}）}{{{x}_{0}}^{2}-4}$=$\frac{{x}_{0}}{2{y}_{0}}$=m，
则x₀=2my₀，
∴（m-1）y₀²=1，
∴y₀²=$\frac{1}{m-1}$＞0，
∴m＞1，
故选：D

点评本题借助于双曲线中的一条动直线的斜率取值范围问题，着重考查了双曲线的简单性质和函数的值域与最值等知识点，属于中档题．

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