2023届昆明市三诊一模高三复习教学质量检测数学

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2023届昆明市三诊一模高三复习教学质量检测数学试卷答案

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16．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$ax³-$\frac{1}{2}$bx²+x．
（I）若曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为6x-6y-5=0，求a，b的值；
（Ⅱ）当a=-1时，函数f（x）在（1，+∞）上存在单调递增区间，求b的取值范围；
（Ⅲ）当a≥2时，设x₁，x2是函数f（x）的两个极值，且f′（x）是f（x）的导函数，如果x₂-x₁=2，x∈（x₁，x₂）时，函数g（x）=f′（x）+2（x-x₂）的最小值为h（a），求h（a）的最大值．

分析令$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$∈[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]，解得x∈[4kπ-$\frac{5π}{3}$，4kπ+$\frac{π}{3}$]，单调增区间[4kπ-$\frac{5π}{3}$，4kπ+$\frac{π}{3}$]（k∈Z）；令$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$∈[2kπ+$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{3π}{2}$]，解得x∈[4kπ+$\frac{π}{2}$，4kπ+$\frac{7π}{3}$]，单调减区间[4kπ+$\frac{π}{3}$，4kπ+$\frac{7π}{3}$]（k∈Z）；

解答解：y=2sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$）的值域为[-2，2]，最小正周期T=$\frac{2π}{\frac{1}{2}}$=4π，
当$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，解得x=4kπ+$\frac{π}{3}$（k∈Z）时，函数取得最大值2，
当$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，解得x=4kπ-$\frac{5π}{3}$（k∈Z）时，函数取得最小值-2，
下面求单调区间：
令$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$∈[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]，解得x∈[4kπ-$\frac{5π}{3}$，4kπ+$\frac{π}{3}$]，
即函数的单调增区间为：[4kπ-$\frac{5π}{3}$，4kπ+$\frac{π}{3}$]（k∈Z）；
再令$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$∈[2kπ+$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{3π}{2}$]，解得x∈[4kπ+$\frac{π}{2}$，4kπ+$\frac{7π}{3}$]，
即函数的单调减区间为：[4kπ+$\frac{π}{3}$，4kπ+$\frac{7π}{3}$]（k∈Z）；
故答案为：[-2，2]；4kπ+$\frac{π}{3}$（k∈Z）；4kπ-$\frac{5π}{3}$（k∈Z）；4π；
[4kπ-$\frac{5π}{3}$，4kπ+$\frac{π}{3}$]（k∈Z）；[4kπ+$\frac{π}{3}$，4kπ+$\frac{7π}{3}$]（k∈Z）．

点评本题主要考查了三角函数的图象和性质，涉及值域，最小正周期，单调性和单调区间，属于中档题．

2023届昆明市三诊一模高三复习教学质量检测数学