衡水市第十三中学2024-2023学年第二学期高一年级开学考试数学

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衡水市第十三中学2024-2023学年第二学期高一年级开学考试数学试卷答案

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6．定义：若函数f（x）与g（x）有共同的解析式和值域，则称f（x）与g（x）是“相似函数”，若f（x）=x²+1，x∈{±1，±2}，则与f（x）相似的函数有9个．

分析令t=ax²-2x+1，则t＞0在区间[2，3]上恒成立．再分0＜a＜1、a＞1两种情况，分别根据二次函数的单调性、对数函数的单调性，求得a的范围，综合可得结论．

解答解：∵函数f（x）=log_a（ax²-2x+1）在区间[2，3]是减函数，
令t=ax²-2x+1，则t＞0在区间[2，3]上恒成立．
①当0＜a＜1时，∵f（x）=g（t）=log_at，故二次函数t在区间[2，3]上为增函数，
再根据二次函数t的图象的对称轴为x=$\frac{1}{a}$＞1，故有$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{a}≤2\\{2}^{2}•a-2×2+1＞0\\0＜a＜1\end{array}\right.$，求得$\frac{3}{4}$＜a＜1；
②当a＞1时，根据二次函数t的图象的对称轴为x=$\frac{1}{a}$＜1，故二次函数t在区间[2，3]上为增函数，
函数f（x）=log_a（ax²-2x+1）在区间[2，3]是增函数，不满足条件．
综上可得，a取值范围为（$\frac{3}{4}$，1），
故答案为：（$\frac{3}{4}$，1）．

点评本题主要考查对数函数、二次函数的性质，复合函数的单调性，体现了转化的数学思想，属于中档题．

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