安徽省2023年中考密卷·先享模拟卷（三）数学

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安徽省2023年中考密卷·先享模拟卷（三）数学试卷答案

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19．设正项数列{a_n}的前n项和为S_n，并且对于所有的正整数n，a_n与1的等差中项等于S_n与1的等比中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}的通项公式b_n=ln（1+$\frac{1}{{a}_{n}}$），记T_n是{b_n}的前n项和，试比较T_n与$\frac{1}{2}$lna_n+1的大小并证明你的结论．

分析（1）取AA₁的中点D，AC₁的中点E，连接ME，则ME是点M到直线AC₁的距离；
（2）利用等体积转化求点N到平面MA₁C₁的距离．

解答解：（1）在△MAC₁中，MA=$\sqrt{5}$，MC₁=$\sqrt{1+8}$=3，AC₁=2$\sqrt{2}$，
cos∠MAC₁=$\frac{5+8-9}{2\sqrt{5}•2\sqrt{2}}$=$\frac{1}{\sqrt{10}}$，sin∠MAC₁=$\frac{3}{\sqrt{10}}$，
设点M到直线AC₁的距离为h，
则$\frac{1}{2}$h•2$\sqrt{2}$=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{5}$•2$\sqrt{2}$•$\frac{3}{\sqrt{10}}$，
解得h=3．
则点M到直线AC₁的距离为3；
（2）△MNC₁中，MN=$\sqrt{3}$，MC₁=$\sqrt{8+1}$=3，NC₁=$\sqrt{4+2}$=$\sqrt{6}$，
∴MN⊥NC₁，
∴${S}_{△MN{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{6}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∵A₁到平面B₁C的距离为$\sqrt{2}$，
∴${V}_{{A}_{1}-MN{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}×\frac{3\sqrt{2}}{2}×\sqrt{2}$=1，
设点N到平面MA₁C₁的距离为h，则
∵${S}_{△M{A}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{4+1}$=$\sqrt{5}$，
∴$\frac{1}{3}×\sqrt{5}h$=1，
∴h=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．

点评本题考查点线面距离的求法，几何体的体积的求法，考查计算能力以及逻辑推理能力．

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