2024届衡中同卷 调研卷 全国乙卷B 理科数学(五)5答案

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19.（12分）
如图，四棱锥 P-ABCD的底面是矩形，∠PBC=∠PDC=90°
（1）证明：PA⊥BD；
（2）若PA=BD，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值的取值范围

（1）证明：因为四边形ABCD为矩形所以AB⊥BC因为∠PBC=90°，所以PB⊥BC又PB∩AB=B，所以BC⊥平面PAB又因为PAC平面PAB，所以PA⊥BC同理，PA⊥CD.又BC∩CD=C，所以PA⊥平面ABCD因为BDC平面ABCD，所以PA⊥BD

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