2024届普通高等学校招生全国统一考试 青桐鸣12月大联考理科数学答案

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19.解：（1）证明：连接BA1由AA1=√2，AB=1，∠A1AB=45°，可得BA=
AA1+AB2-2AA1·AB·cos∠A1AB=1故BA1=1，
（1分）
故AA=AB2+BA1，故AB⊥BA又AB⊥BC,BA1∩BC=B，所以AB⊥平面BA1C，
（3分又A1CC平面BA1C，所以AB⊥CA
（4分）
又AB∥A1B1，所以CA1⊥A1B1
（5分）
（2）设D为BB1的中点，连接CD,A1D,CB1由（1）可知BA1=B1A1=1，B1=√2，故A1D⊥BB又CB=BB1，∠CBB1=60°，所以△BCB1为等边三角形，故CD⊥BB1，又CD,A1DC平面A1CD所以BB1⊥平面A1CD，因为CA1C平面A1CD，故CA1⊥BB1又CA1⊥A1B1，BB1，A1B1C平面AA1B1B，所以CA1⊥平面AA1B1B，故CA1⊥
A,B，综上，CA1，A1B,A1B1两两垂直
（7分）
故以A1为坐标原点，A1B的方向为x轴正方向，轴正方向，A1C的方向为z轴正

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