2024-2023学年高一数学人教A2019必修第一册同步讲义第9讲基本不等式9种常见题型

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1、第9讲 基本不等式9种常见题型【考点分析】考点一：重要不等式若，则，当且仅当时取等号；考点二：基本不等式若，则（或），当且仅当时取等号.其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数考点三：几个常见重要的不等式(沟通两和与两平方和的不等关系式)(沟通两积与两平方和的不等关系式)(沟通两积与两和的不等关系式)重要不等式串：即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件).【题型目录】题型一：直接利用基本不等式求最值题型二：“1”的代换，乘1法题型三：常规凑配法题型四：换元法题型五：消参法题型六: 双换元题型七：齐次化题型八：和、积、平方和的转化题

2、型九：多选题【典型例题】题型一 直接利用基本不等式求最值【例1】（2021湖南邵阳市）若正实数满足.则的最大值为（ ）ABCD【答案】B【解析】当且仅当时取等号，即xy的最大值为故选：B【例2】（2021六安市裕安区新安中学）已知，则的最大值为（ ）ABCD【答案】D【解析】因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以，整理得，即.所以的最大值为.故选：D.【题型专练】1.（2024甘肃酒泉模拟预测（理）若x，y为实数，且，则的最小值为（）A18B27C54D90【答案】C【解析】由题意可得，当且仅当时，即等号成立.故选：C2.（2024河南河南三模（理）已知二次函数（）的值域为，则的最小

3、值为（）AB4C8D【答案】B【详解】由于二次函数（）的值域为，所以，所以，所以，当且仅当即时等号成立.故选：B题型二 “1”的代换，乘1法1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形【例1】（2021上海市大同中学）设为正数，且，则的最小值为_.【答案】【解析】因为为正数，且，所以,当且仅当a=b=1时取等号即的最小值为4.故答案为：4【例2】（2021河北石家庄市）已知，且，则的最小值是（ ）A4 B5 C6 D9【答案】B【解析】由，得，所以，当且仅当，取等号.故选：B.【例3】（2021北京师范大学万宁附属中学）已知，则

4、的最小值为（ ）ABCD【答案】B【解析】因为，且，所以，当且仅当即，时，有最小值.故选：B.【例4】（2021浙江高一期末），且，不等式恒成立，则的范围为_.【答案】【解析】因为，所以，当且仅当，即时，取等号，因为不等式恒成立，所以小于等于最小值，所以【例5】（2021浙江）当时，不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）A B C D【答案】C【解析】不等式恒成立化为恒成立，因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立.所以，所以的最大值为. 故选：C【例6】若， ，则的最小值为_【答案】【解析】因为，所以，所以，所以当且仅当，等号成立.【例7】若是正实数，且，则的最小值为 【答案】【解析】因为，

5、所以，当且仅当，等号成立.【例8】设，则的最小值是 【答案】【解析】因为，所以，当时，当当时，【题型专练】1.（2024辽宁模拟预测）已知正实数x，y满足，则的最小值为（）A2B4C8D12【答案】C【解析】【分析】依题意可得，则，再由乘“1”法及基本不等式计算可得；【详解】解：由，且，可得，所以，当且仅当，即，时取等号故选：C2.（2024安徽南陵中学模拟预测（理）若实数，满足，则的最小值为（）ABCD【答案】A【解析】【分析】对已知条件和要求最值的代数式恒等变形之后应用均值不等式即可求解【详解】因为，所以，又所以当且仅当即，时，取等号所以故选：A3.（2024四川石室中学三模（文）已知，且，则的最小值是()A49B50C51D52【答案】B【解析】【

今年国际博物馆日的主题是“博物馆的力量”。博物馆的力量应该是文明的力量,以文化人的力量。随着博物馆越建越多,展览也越来越多,最大限度发挥博物馆的作用就成了③。双向奔赴,共同发力,博物馆才能越来越有力量。