2024-2023学年高一数学人教A2019必修第一册同步讲义第16讲指数及指数运算3种题型

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1、第16讲 指数及指数运算3种题型【考点分析】考点一：指数及指数运算根式的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，记为，称为根指数，称为根底数根式的性质：当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数.指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘.有理数指数幂的运算正整数指数幂； 零指数幂；负整数指数幂，； 的正分数指数幂等于， 的负分数指数幂没有意义有理数指数幂的性质，； ，； ，； ，考点二：指数运算中的平方差、立方和差公式,【题型目录】题型一：根式指数式的运算题型二：平方

2、差、立方差（和）公式运用题型三：指数式运算应用题【典型例题】题型一：根式指数式的运算【例1】化简求值:（1）； 【答案】【解析】（2）【答案】【解析】=【例2】 .【答案】【解析】【例3】（多选题）下列根式与分数指数幕的互化正确的是（ ）A BCD【答案】CD【解析】A选项，B选项，C选项对，D选项【题型专练】1.（2024全国高一课时练习）已知，且，则_【答案】4【分析】由题设可得、，根据指数幂运算，代入目标式求值即可.【详解】因为，所以两式相乘得，则将代入，得，所以故答案为：42.（2024全国高一课时练习）计算：（1）_；（2）_【答案】 1 3【分析】根据指数幂的运算性质可得（1）（2

3、）计算结果.【详解】（1）原式（2）原式3.设，求的值【答案】27【分析】将等式两边化为同底数幂的形式，然后可得关于的方程组，求出的值，从而可求得的值【详解】因为，所以，即又，所以，即，由，解得，故的值为274（2024全国高一专题练习）求值.【答案】【分析】根据指数幂的运算性质可求出结果.【详解】原式.5（2024全国高一课时练习）化简：（1）_；（2）_【答案】 1【分析】（1）根据分数指数幂的运算性质即可求解；（2）先将根式转化为分数指数幂，然后根据分数指数幂的运算性质即可求解；【详解】解：（1）原式（2）因为有意义，所以，所以原式故答案为：（1）；（2）1.题型二：平方差、立方差（和）

4、公式运用【例1】已知求的值【答案】2【详解】因为，所以，所以，所以，所以【例2】若则 .【答案】【详解】【例3】（2024全国高一课时练习）已知，且，求下列代数式的值：(1)；(2)；(3)（注：立方和公式）【答案】(1)，(2)，(3)【分析】（1）先求得，结合平方差公式求得正确答案.（2）结合指数运算求得正确答案.（3）结合指数运算以及立方和公式求得正确答案.（1）因为，且，所以.（2）.（3）.【题型专练】1（2024全国高一课时练习）已知函数，若，则（）A12B14C16D20【答案】B【分析】根据指数式的运算即可求解.【详解】因为，所以，则，故选:B2.（2024全国高一单元测试）（

5、1）已知，计算：；【答案】4【分析】对两边平方，求出，再对此式两边平方，化简可得，从而代入可求结果，【详解】因为，所以，所以，所以，所以，即，所以，所以题型三：指数式运算应用题【例1】（2024河南开封高二阶段练习（文）企业在生产中产生的废气要经过净化处理后才可排放，某企业在净化处理废气的过程中污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为（其中，k是正的常数）如果在前10h消除了20%的污染物，则20h后废气中污染物的含量是未处理前的（）A40%B50%C64%D81%【答案】C【分析】由，得污染物含量的初始值为，根据得，得，代入，即可求出答案.【详解】当时，；当时，即，得，所以；当时，.故选：C【例2】（2

土臭素是一种醇,正如其他醇一样,醇类分子往往在挥发的过程中释放强烈的气味比如大家比较常见的酒精。潮湿的天气有助于提升放线菌的活性并形成所以小雨过后,我们更能感受到泥土的芬芳。除此之外,夏天的雷阵雨常伴随着电闪雷鸣通过科学