2023届云南省高三试卷3月联考(23-366C)数学

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2023届云南省高三试卷3月联考(23-366C)数学试卷答案

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11．设函数f（x）=a^x+（k-1）a^-x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．
（1）求k值；
（2）若f（1）＞0，试判断函数单调性，并求使不等式f（x²+x）+f（t-2x）＞0恒成立的t的取值范围；
（3）若f（1）=$\frac{3}{2}$，设g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x），g（x）在[1，+∞）上的最小值为-1，求m的值．

分析先判断函数f（x）是R上的单调递减函数，再运用定义进行证明，作差得f（x₁）-f（x₂）=（x₂-x₁）[（x₂+$\frac{1}{2}$x₁）²+$\frac{3}{4}$x₁²）]，即可下结论．

解答解：函数f（x）=-x³+1在R上为单调递减函数，证明如下：
任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（-x₁³+1）-（-x₂³+1）
=x₂³-x₁³
=（x₂-x₁）（x₂²+x₁x₂+x₁²）
=（x₂-x₁）[（x₂+$\frac{1}{2}$x₁）²+$\frac{3}{4}$x₁²）]，
其中，x₂-x₁＞0，（x₂+$\frac{1}{2}$x₁）²+$\frac{3}{4}$x₁²＞0恒成立，
所以，f（x₁）＞f（x₂）恒成立，
故f（x）为R上的单调递减函数，证毕．

点评本题主要考查了函数单调性的判断和证明，通过对差式进行合理的恒等变形是解题的关键，涉及到作差法和配方法，属于中档题．

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