2023年万友名校大联考试卷(二)数学

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2023年万友名校大联考试卷(二)数学试卷答案

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14．在△ABC中，tanA=3，面积为10，D为边BC上一动点，CD=λDB．分别作边AB，AC的垂线，垂足分别为E，F，若$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{DF}$∈[-$\frac{4}{3}$，-$\frac{9}{8}$]，则实数λ范围为[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]∪[2，3]．

分析由条件利用两角和差的正弦公式、同角三角函数的基本关系可得2tan²α•tanβ+tanβ-tanα=0，再根据△=1-8tan^2β≥0，求得tanβ的最小值．

解答解：∵sinαcos（α+β）=sinβ=sin[（α+β）-α]，
∴sinαcos（α+β）=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα，
化简可得tan（α+β）=2tanα，即$\frac{tanα+tanβ}{1-tanα•tanβ}$=2tanα，
∴2tan²α•tanβ-tanα+tanβ=0，
∴△=1-8tan²β≥0，
解得-$\frac{\sqrt{2}}{4}$≤tanβ≤$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∵β∈（$\frac{π}{2}$，π），∴-$\frac{\sqrt{2}}{4}$≤tanβ＜0，
故答案为：-$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评本题主要考查两角和差的正弦公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．

2023年万友名校大联考试卷(二)数学