2023年普通高等学校招生全国统一考试 高考模拟试卷(五)数学

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2023年普通高等学校招生全国统一考试 高考模拟试卷(五)数学试卷答案

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13．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
（1）x²=2y；’
（2）4x²+3y=0；
（3）2y²+x=0；
（4）y²-6x=0．

分析（1）解不等式$\frac{2}{x+1}≥1$求出D，结合二次函数的图象和性质，求出A；
（2）利用导数法，求出B，结合A⊆B，可得负实数t的取值范围；
（3）若函数g（x）=x³-3tx+$\frac{1}{2}t$在定义域[0，1]上单调递减，则g′（x）=3x²-3t≤0在[0，1]上恒成立，解得答案．

解答解：（1）解不等式$\frac{2}{x+1}≥1$得：x∈（-1，0]，
故二次函数f（x）=x²+x的定义域D=（-1，0]，
∵二次函数f（x）=x²+x的图象是开口朝上，且以直线x=-$\frac{1}{2}$为对称轴的抛物线，
故二次函数f（x）=x²+x在x=-$\frac{1}{2}$时，取最小值$-\frac{1}{4}$，当x=0时，取最大值0，
故二次函数f（x）=x²+x的值域A=[$-\frac{1}{4}$，0]；
（2）∵函数g（x）=x³-3tx+$\frac{1}{2}t$，
∴g′（x）=3x²-3t，
当t＜0时，g′（x）≥0恒成立，
g（x）=x³-3tx+$\frac{1}{2}t$，x∈[0，1]为增函数，
此时B=[$\frac{1}{2}t$，$-\frac{5}{2}t+1$]，
若A⊆B，
则$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}t≤-\frac{1}{4}\\-\frac{5}{2}t+1≥0\end{array}\right.$，
解得：t≤$-\frac{1}{2}$；
（3）若函数g（x）=x³-3tx+$\frac{1}{2}t$在定义域[0，1]上单调递减，
则g′（x）=3x²-3t≤0在[0，1]上恒成立，
即t≥x²，x∈[0，1]恒成立，
解得：t≥1

点评本题考查的知识点是集合的包含关系，函数的定义域，值域，导数法求函数的最值，难度较大，属于难题．

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