高考数学一轮复习讲义微专题《32解三角形中的不等问题》(含详解)

高考数学一轮复习讲义微专题《32解三角形中的不等问题》(含详解)

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1、微专题32 解三角形中的不等问题一、基础知识：1、正弦定理：，其中为外接圆的半径正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化。其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征。如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行例如：（1） （2）（恒等式） （3） 2、余弦定理： 变式： 此公式在已知的情况下，配合均值不等式可得到和的最值 3、三角形面积公式：（1） （为三角形的底，为对应的高）（2）（3）（其中为外接圆半径）4、三角形内角和：，从而可得到：（1）正余弦关系式： （2）在已知一角的情况下，可用另一个角表示第三个角，达到消元的目的5、两角和差的正余弦公式： 6、辅助角公式：，其中 7

2、、三角形中的不等关系（1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可。由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少（2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系：其中由利用的是余弦函数单调性，而仅在一个三角形内有效。 8、解三角形中处理不等关系的几种方法（1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域（2）利用均值不等式求得最值二、例题精析：例1：各角的对应边分别为，满足，则角的范围是 A B CD思路：从所给条件入手，进行不等式化简： ，观察到余弦定理公式特征，进而利用余弦定理表示：

3、，可解得：答案：A例2：在中，角所对的边分别为，已知 （1）求的大小（2）若，求的取值范围解：（1）由条件可考虑使用正弦定理，将分子进行“边化角” （2）思路：考虑在中，已经已知 ，从而可求出外接圆半径，进而与也可进行边角互化。若从边的角度考虑，则能够使用的不等关系只有“两边之和大于第三边”，但不易利用 这个条件，考虑利用角来解决 解： 例3：在锐角中，角所对的边分别为，且 （1）求角 （2）求的取值范围解：（1）方法一：使用余弦定理 由余弦定理得： 方法二：观察等式齐次，考虑使用正弦定理 （2） 为锐角三角形 小炼有话说：要注意对锐角三角形条件的运用：三个角均为锐角，而用代换，所以满足锐角的

4、条件也由来承担，这也是在利用等式消元时所要注意的一点：若被消去的元带有范围，则这个范围由主元承担。 例4：在中，角所对的边分别为，已知，且 （1）当时，求的值（2）若角为锐角，求的取值范围解：（1） 或 （2）思路：以“角为锐角”为突破口，联想到余弦定理，而也刚好得到与的关系式，再由可解得的范围解：考虑余弦定理 为锐角， 例5：若的内角满足，则的最小值是 思路：所求的最值可想到余弦定理用边进行表示，考虑角化边得到：，进而消去计算表达式的最值即可解： 由可得： 答案：例6：在锐角中、的对边长分别是、,则的取值范围是( )A B C D思路：本题所给条件为角的关系，不易从边入手，所以将所求进行边化

5、角：，只需求出的范围即可。条件所给的是关系，从而，利用减少角的个数：，代入可得：，根据锐角三角形求出的范围即可。解：由 因为为锐角三角形 解得： 答案：B小炼有话说：本题的关键点有两个，一个是解题系统的确定，由于题目中没有涉及到边的关系，只是给了角的条件，所以优先选择角的系统，从而进行角化边的处理，并进行了一个分式的常见变形，将变量集中在分母上。另一个就是主元的确定：本题的主元是，所以在求表达式范围时将均用来进行表示，以便于求得值域。例7：已知的角所对的边分别是，且，若的外接圆半径为，则面积的最大值为_思路：由可联想到余弦定理求，所以，从而，所求面积可表示为，则只需解出的最大值即可。由外接圆半径及可得：，所以，而，所以有，所以 答案： 小炼有话说：本题的入手点来自于条件中对余弦定理的暗示，从而解出，在计算面积时有三组边角可供选择：，通常是“依角而选”，从而把目标转向求的最值。要注意到余弦定理本身含有平方和与乘积项，再配上均值不等式往往可以找到最值。

4.人体中支配内脏、血管和腺体的传出神经,它们的活动不受意识支配,被称为自主神经系统。下列有关自主神经系统的叙述,错误的是A.交感神经和副交感神经对同一器官的作用通常是相反的B.人处于安静状态时,副交感神经活动占据优势C.自主神经系统由交感神经和副交感神经两部分组成D.交感神经作用于效应器,副交感神经作用于感受器