江西省婺源县2023届毕业生素养监测数学

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江西省婺源县2023届毕业生素养监测数学试卷答案

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12．一椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1（a＞3）的两个焦点分别为F₁，F₂，点P（1，m）是该椭圆曲线上一点，已知三角形F₁F₂P的周长是18．
（1）求a的值；
（2）求m的值．

分析（1）利用椭圆的长轴长为10，离心率为$\frac{4}{5}$，求出几何量，即可求椭圆的标准方程；
（2）点（3$\sqrt{2}$，2）代入$\frac{{x}^{2}}{a^2}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），可得$\frac{18}{{a}^{2}}$-$\frac{4}{{b}^{2}}$=1，利用a²+b²=20，求出双曲线的标准方程．

解答解：（1）∵椭圆的长轴长为10，离心率为$\frac{4}{5}$，
∴2a=10，$\frac{c}{a}$=$\frac{4}{5}$，
∴a=b，b=3，c=4，
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1或$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{25}$=1；
（2）由题意双曲线的焦点坐标为（±2$\sqrt{5}$，0），c=±2$\sqrt{5}$，
∴点（3$\sqrt{2}$，2）代入$\frac{{x}^{2}}{a^2}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），可得$\frac{18}{{a}^{2}}$-$\frac{4}{{b}^{2}}$=1，
∵a²+b²=20，
∴a²=12，b²=8，
∴双曲线的标准方程$\frac{{x}^{2}}{12}-\frac{{y}^{2}}{8}$=1．

点评本题考查椭圆、双曲线的标准方程，考查学生的计算能力，属于中档题．

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