安徽省芜湖市2023年九年级毕业暨升学模拟考试(二)数学

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安徽省芜湖市2023年九年级毕业暨升学模拟考试(二)数学试卷答案

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7．已知函数$f（x）=blnx-\frac{x^2}{{2{e^2}}}+a$（其中a∈R，无理数e=2.71828…）．当x=e时，函数f（x）有极大值$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）任取x₁，${x_2}∈[{e，{e^2}}]$，证明：|f（x₁）-f（x₂）|＜3．

分析（1）把不等式两边化为同底数，然后利用对数函数的性质转化为一次不等式求解；
（2）直接由对数的运算性质化对数不等式为一元二次不等式组得答案．

解答解：（1）由log₂x＞log${\;}_{\frac{1}{4}}$x+3，得
$lo{g}_{2}x＞-\frac{1}{2}lo{g}_{2}x+3$，即$\frac{3}{2}lo{g}_{2}x＞3$，
解得：x＞4．
∴不等式log₂x＞log${\;}_{\frac{1}{4}}$x+3的解集为（4，+∞）；
（2）由log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-2x-2）＞0，得0＜x²-2x-2＜1，
即$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x-2＞0}\\{{x}^{2}-2x-3＜0}\end{array}\right.$，解得：-1$＜x＜1-\sqrt{3}$或$1+\sqrt{3}＜x＜3$．
∴不等式log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-2x-2）＞0的解集为$（-1，1-\sqrt{3}）∪（1+\sqrt{3}，3）$．

点评本题考查指数不等式和对数不等式的解法，考查了指数函数和对数函数的性质，是基础的计算题．

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