衡水金卷广东省2023届高三年级4月份大联考数学

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衡水金卷广东省2023届高三年级4月份大联考数学试卷答案

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4．已知$f（{\frac{a+2b}{3}}）=\frac{f（a）+2f（b）}{3}$，f（1）=1，f（4）=7，则f（2016）=（　　）

分析设动圆圆心M（x，y），半径为r，则|MC₁|=r+3，|MC₂|=7-r，可得|MC₁|+|MC₂|=r+3-r+7=4＞|C₁C₂|=6，利用椭圆的定义，即可求动圆圆心M的轨迹方程．

解答解：定圆C₁：x²+y²+6x=0的圆心（-3，0），半径：3；
圆C₂：x²+y²-6x=40的圆心（3，0），半径为：7，
两个圆的交点的横坐标为：x=-$\frac{10}{3}$
设动圆圆心M的坐标为（x，y），半径为r，则|MC₁|=r+3，|MC₂|=7-r，
∴|MC₁|+|MC₂|=r+3-r+7=10＞|C₁C₂|=6，
由椭圆的定义知，点M的轨迹是以C₁、C₂为焦点的椭圆，且2a=10，a=5，c=3，b=4，
所求的轨迹方程：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$（-$\frac{10}{3}$＜x≤5）．

点评本题考查圆与圆的位置关系，考查椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，转化思想的应用，属于中档题．

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