2023年重庆一中高2023届5月月考数学

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2023年重庆一中高2023届5月月考数学试卷答案

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16．已知{a_n}是一个首项为a₁，公差为d的等差数列．试求：S_n=a₁${C}_{n}^{0}$+a₂${C}_{n}^{1}$+…+a_n+1${C}_{n}^{n}$（n≥1）．

分析（1）求得已知圆的圆心和半径，设k=$\frac{y}{x}$，即kx-y=0，则圆心到直线的距离d≤r，加上即可得到最值；
（2）x²+y²+2x+3=（x+1）²+y²+2表示点（x，y）与A（-1，0）的距离的平方加上2，连接AC，交圆C于B，延长AC，交圆于D，可得AB最短，AD最长，加上即可得到所求最值．

解答解：（1）圆x²+y²-6x-6y+14=0即为（x-3）²+（y-3）²=4，
可得圆心为C（3，3），半径为r=2，
设k=$\frac{y}{x}$，即kx-y=0，
则圆心到直线的距离d≤r，
即$\frac{|3k-3|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$≤2，
平方得5k²-18k+5≤0，
解得$\frac{9-2\sqrt{14}}{5}$≤k≤$\frac{9+2\sqrt{14}}{5}$，
故$\frac{y}{x}$的最大值是$\frac{9+2\sqrt{14}}{5}$，最小值为$\frac{9-2\sqrt{14}}{5}$；
（2）x²+y²+2x+3=（x+1）²+y²+2
表示点（x，y）与A（-1，0）的距离的平方加上2，
连接AC，交圆C于B，延长AC，交圆于D，
可得AB为最短，且为|AC|-r=$\sqrt{16+9}$-2=3，
AD为最长，且为|AC|+r=5+2=7，
则x²+y²+2x+3 的最大值为7²+2=51，
x²+y²+2x+3的最小值为3²+2=11．

点评本题主要考查直线和圆的方程的应用，根据圆心到直线的距离和半径之间的关系以及连接圆外一点与圆心的直线与圆的交点，取得最值是解决本题的关键．

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