天利38套 2023年普通高等学校招生全国统一考试临考押题卷(B)数学

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天利38套 2023年普通高等学校招生全国统一考试临考押题卷(B)数学试卷答案

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13．求证：2sin²α•sin²β+2cos²α•cos²β=1+cos2α•cos2β．

分析（1）曲线C₁：ρ=4cosθ是以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，分别求出四个选项中的直角坐标方程，由此能求出结果．
（2）曲线C₂的直角坐标方程为x=3，联立$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{（x-2）^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，先求出曲线C₁与C₂交点的直角坐标，再求出曲线C₁与C₂交点的极坐标．

解答解：（1）∵曲线C₁：ρ=4cosθ，
∴ρ²=4ρcosθ，
∴x²+y²=4x，即（x-2）²+y²=4，
即曲线C₁是以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，
在A中，ρcosθ=2是直线x=2，圆心（2，0）在直线x=2上，故ρcosθ=2与曲线C₁不相切，故A错误；
在B中，ρsinθ=2是直线y=2，圆心（2，0）到直线y=2的距离d=2=r，故ρcosθ=2与曲线C₁相切，故B正确；
在C中，ρ=4sin（θ+$\frac{π}{3}$）=2sinθ+2$\sqrt{3}$cosθ，∴${ρ}^{2}=2ρsinθ+2\sqrt{3}ρcosθ$，
∴直角坐标方程为：x²+y²-2$\sqrt{3}$x-2y=0，是以（$\sqrt{3}$，1）为圆心，以2为半径的圆，故C错误；
在D中，ρ=4sin（θ-$\frac{π}{3}$）=2sin$θ-2\sqrt{3}cosθ$，∴${ρ}^{2}=2ρsinθ-2\sqrt{3}ρcosθ$，
∴直角坐标方程为${x}^{2}+{y}^{2}-2y+2\sqrt{3}x$=0，是以（-$\sqrt{3}$，1）为圆心，以2为半径的圆，故D错误．
故选：B．
（2）∵曲线C₂的极坐标方程为ρcosθ=3，
∴曲线C₂的直角坐标方程为x=3，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{（x-2）^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，解得x=3，y=$\sqrt{3}$，或x=3，y=-$\sqrt{3}$．
当x=3，y=$\sqrt{3}$时，$ρ=\sqrt{9+3}$=2$\sqrt{3}$，cosθ=$\frac{3}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，（3，$\sqrt{3}$）在第一象限，∴θ=$\frac{π}{6}$；
当x=3，y=-$\sqrt{3}$时，$ρ=\sqrt{9+3}$=2$\sqrt{3}$，cosθ=$\frac{3}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，（3，-$\sqrt{3}$）在第四象限，∴θ=-$\frac{π}{6}$．
∴曲线C₁与C₂交点的极坐标为（2$\sqrt{3}$，$\frac{π}{6}$）或（2$\sqrt{3}$，-$\frac{π}{6}$）．
故答案为：（2$\sqrt{3}$，$\frac{π}{6}$）或（2$\sqrt{3}$，-$\frac{π}{6}$）．

点评本题考查直线与圆相切的判断，考查曲线C₁与C₂交点的极坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标方程和直角坐标方程互化公式的合理运用．

天利38套 2023年普通高等学校招生全国统一考试临考押题卷(B)数学