安徽鼎尖教育2023届高三5月联考数学

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安徽鼎尖教育2023届高三5月联考数学试卷答案

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14．某中学高二年级举行数学竞赛，共有800名学生参加．为了了解本次竞赛成绩，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分100分）进行统计．请你根据频率分布表，解答下列问题：
（1）填充下列频率分布表中的空格；
（2）估计众数、中位数和平均数；
（3）规定成绩不低于85分的同学能获奖，请估计在参加的800名学生中大概有多少名学生获奖？

分析（1）求出函数的导数，利用函数的极值点，列出方程组，求解a，b即可．
（2）利用函数的极值点，结合导函数的符号，推出函数的单调区间即可．

解答解：（1）由已知函数f（x）=2x³+3ax²+3bx+8，
可得f′（x）=6x²+6ax+3b
因为f（x）在x=1及x=2处取得极值，所以1和2是方程f′（x）=6x²+6ax+3b=0的两根，
故$\left\{\begin{array}{l}6+6a+3b=0\\24+12a+3b=0\end{array}\right.$
解得：a=-3、b=4．
（2）由（1）可得f（x）=2x³-9x²+12x+8，
可得 f′（x）=6x²-18x+12=6（x-1）（x-2）
当x＜1或x＞2时，f′（x）＞0，f（x）是增加的；
当1＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）是减少的．
所以，f（x）的单调增区间为（-∞，1）和（2，+∞），f（x）的单调减区间为（1，2）．

点评本题考查导函数的应用，函数的极值以及函数的单调区间的求法，考查计算能力．

安徽鼎尖教育2023届高三5月联考数学