济洛平许2024-2023学年高三第四次质量检测(5月)数学

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济洛平许2024-2023学年高三第四次质量检测(5月)数学试卷答案

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13．在四边形ABCD中，M为BD上靠近D的三等分点，且满足$\overrightarrow{AM}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$，则实数x，y的值分别为（　　）

分析（1）设点P（x，y），则$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=2sinα+2}\end{array}\right.$，由此能求出点P的轨迹的直角坐标方程．
（2）由已知得$ρsinθ-\sqrt{3}ρcosθ=10$．从而直线l的直角坐标方程为$\sqrt{3}x-y+10=0$，求出圆心到直线的距离，得点P所在的圆与直线l相离，由此能求出点P到直线l距离的最大值．

解答解：（1）设点P（x，y），∵P（2cosα，2sinα+2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=2sinα+2}\end{array}\right.$，且参数α∈[0，2π]，
所以点P的轨迹的直角坐标方程为x²+（y-2）²=4．…（3分）
（2）∵ρ=$\frac{5}{sin（θ-\frac{π}{3}）}$，∴$ρsin（θ-\frac{π}{3}）$=5，
∴$\frac{1}{2}ρsinθ-\frac{\sqrt{3}}{2}ρcosθ=5$，即$ρsinθ-\sqrt{3}ρcosθ=10$．
∴直线l的直角坐标方程为$\sqrt{3}x-y+10=0$．…（6分）
由（1）知点P的轨迹方程为x²+（y-2）²=4，是圆心为（0，2），半径为2的圆．
圆心到直线的距离d=$\frac{|-2+10|}{\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}}$=4，
点P所在的圆与直线l相离，…（9分）
∴点P到直线l距离的最大值4+2=6．…（10分）

点评本题考查极坐标方程与普通方程的互化，考查点到直线距离的最大值的求法，灵活利用极坐标方程与普通方程的互化公式是解决问题的关键．

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